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81. 2014年9月06日 03:33:11
: 2vloqg3wiE
患者の大半は十分殺菌してないカテーテルのために菌に感染して亡くなっているのではないか と気付いていながら、この仮説を立証しようとして、これを放置したのではないか。これに気付いたなら、ただちに、殺菌対策に向かうのが当然の事だと思います。御遺族が上のこの論文を読んだなら怒り出すのではないか、と思います。【飲み薬のATRA:オール・トランス・ レチノイン酸というものを用いていれば端からこんな問題は起きなかったし、殆どの人が死なずに済み、全快したのではないか、と思います。】 |
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82. 2014年9月07日 11:44:46
: 2vloqg3wiE
知っていながら放置したのだとすれば、刑事事件に該当するかもしれません。 |
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83. 2014年9月07日 22:58:40
: 2vloqg3wiE
東大医学部出身の俺様の発見なら、それは “大発見” に違い無い。ここはジックリ確かめる事にしよう‐‐‐‐‐てか ??? |
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84. 2014年9月08日 21:53:00
: 2vloqg3wiE
飯山一朗氏のブログ■ http://grnba.com/iiyama では【医師免許】は【殺人免許】ではないかと言っています。 |
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85. 2014年9月10日 12:05:07
: 2vloqg3wiE
次は森岡某について書こうと思います。他の者の論文は専門用語が多すぎます。すぐに論評することは出来ませんが、しばらくしてから書くかもしれません。 |
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86. 2014年9月10日 18:24:06
: 2vloqg3wiE
森岡正博という奴の書いているものを読んでの感想。‐‐‐‐‐「甘っちょろい人生を生きてきた ウスラ馬鹿が、ガキンチョが、何か能書きを垂れている。」‐‐‐‐‐その位の感想しか湧いてきません。 |
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87. 2014年9月14日 08:58:44
: hU2UKe8pfM
>>86. 2014年9月10日 18:24:06 : 2vloqg3wiE 具体的な批判も出来ずに、便所の落書きみたいな事書くなら、某巨大掲示板にでも行きなさい |
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88. 2014年10月30日 11:27:38
: iheNxBb78M
78に、SO(4)の構造すら正しいものが未だに出ていません と書きました。SO(4)は3次元球面と実3次元射影空間RP(3)との積空間ではありません。3次元球面の単位接ベクトル束は、3次元 球面と2次元球面との積空間ではありません。Hassler Whitney の1937年の束に関する論文の中の主張-----完全平行性を持つ空間上の束は、その空間と繊維との積空間になる、という主張-----は間違いです。これがいまもって正されていません。【 今初めて正されました。】詳しいことは近いうちに書きます。世界広しと言えども、他には何処にも無い情報です。4次元空間についても書こうと思います。
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89. 2014年11月02日 12:27:21
: mKiidWMNHs
SO(3) をよく見ていけば、SO(4)が(S^3) ×RP(3)と同相でないことが【直観的にも】はっきり分かってくると思います。それで先ずSO(3)が(S^2)×(S^1)ではなくRP(3)に同相になることを見て行きます。----- Rを実数の全体としR×R×R 【=R^3】を3次元ユークリッド空間とします。u,v,w をこの空間のベクトルとし u・u=1,v・v=1,w・w=1, v・w=0, u・w=0, u・v=0 . とします。つまり、u,v,w はどれも大きさが1で、これらのうちの、互いに異なる任意の2つは垂直になっているとします。u,v,wの順序も考慮に入れた組(u,v,w)の全体がO(3)と同相になります。u=(u(1),u(2),u(3)),v=(v(1),v(2),v(3)),w=(w(1),w(2),w(3)) ,【u(1),u(2)・・・は実数】 とすると、uの成分を上から第1行目に置き、vの成分を上から第2行目に置き、wの成分を上から第3行目に置いて3行3列の行列が出来ます。これの行列式が1となるような(u,v,w)のものの全体がSO(3)と同相でそれらの(u,v,w)に由る3行3列の行列の全体が実際にSO(3)となります。
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90. 2014年11月02日 13:56:36
: mKiidWMNHs
S をR^3 の原点O=(0,0,0) を中心とする半径 1 の 【2次元】球面とします。そうするとu,v,wの 始点をOに置くと、u,v,wの終点U,V,WはS上の点となりu=ベクトルOU,v=ベクトルOV,w=ベクトルOW となります。互いに垂直なOU,OVのU,V をS上に採るとWとして可能な点は、O(3)の要素をもたらすものとしてただ2点が有り、SO(3)の要素【行列】をもたらすものはただ1点だけ 存在します。もう一方のものは行列式がー1となります。UをS上の任意の点とするとき、Vは Uを北極または南極と見なしたときの赤道にあたるものの上の任意点がVとして可能です。そのようになっているとき、ベクトルOV はSのUに於ける単位接ベクトルのひとつとなります。SのUに於ける単位接ベクトルの全体は赤道【円】と同相になります。
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91. 2014年11月02日 15:19:28
: mKiidWMNHs
S ={(x,y,z)∈R^3; xx+yy+zz =1}, D = {(x,y,z)∈R^3; xx+yy+zz=1, z≧0}, D’ ={(x,y,z)∈R^3 ; xx+yy+zz=1, z≦0}, C={(x,y,z)∈R^3; xx+yy+zz=1,z=0} . とすると D∪D’=S,D∩D’=C となります。連結で可縮な空間【可縮な空間とはその空間に於いてその空間を連続的にその空間の1点へ縮め得るような空間】---このようなものをSteenrod はsolidと名ずけています---の上の【これを底空間とする】束はその空間と繊維との積空間に同相になります。証明はSteenrodの本に書いています。D,D’は連結で可縮ですから、D上の各点Uに付随する円【Uに於ける単位接ベクトルの全体】をDのすべての点に亘って和したものは円板と円との積空間に同相になり、同様にD’上のそれも、円板と円との積空間になります。それぞれは、D×C,D’×C と同相になります。
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92. 2014年11月03日 06:56:56
: 0NYvualSvw
故にSO(3)はD×C とD’×C とをそれらの共通の境界∂(D×C)=(∂D)×C=C×C, ∂(D’×C)=(∂D’)×C=C×C に於いて貼り合わしたものになります。点AをA=(0,0,1) 【北極点】とし、U∈D とします。SのAに於ける単位接ベクトル【の始点を原点とした時の終点】の全体はCとなります。 U≠A の時CをS上回転さしてUに於けるSの単位接ベクトルvを座標ベクトルと同一視した時のその座標の点Vの全体がCが回転して移っていったものになります。この写像 fU:C→S を次のように採ります。A と U を D上の子午線で結び、それに沿ってAをU迄動かした時それにつれCも自転なしに回転さしたものとします。同様に点BをB=(0,0,-1) 【南極点】とし U∈D’に対して 写像 gU : C→S を今度はBとUを結ぶD’上の子午線に沿ってB を U 迄動かした時に C が移っていったものを表すものとします。UをC上の点とするとU∈D∩D’のためfUもgUも定義されます。このとき fU(-U)=A, fU(U)=B となり、gU(U)=A, gU(-U) = B となります。このことから分かるようにgU(C)上の点Zの、由来のC上の点Y=(gU)’(Z)は、fU(X)=Z となるX (∈C ) を、z=0 の平面上の、直線OUとOで直交するような直線Lを軸にして【L∩C を固定して】CをR^3に於いて半回転さしたものがYとなります。【ここに(gU)’はgUの逆写像を表すものとします。】。これで XとY ( =(gU)’(fU(X)) ) の関係が分かりました。D×C とD’×Cは この写像 : (gU)’fU 【=(gU)’○fU のこと】によって貼り合わされます。
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93. 2014年11月03日 11:08:56
: 0NYvualSvw
a を C 上の定点とします。D×{a} は円板と同相でその境界 ∂( D×{a})=(∂D)×{a}=C×{a} は、円であり、これはD×{a}に於いて1 点へ可縮です。従ってD×C に於いて可縮です。 U=(x,y,0) とすると、これに対するL∩Cは U’=(y,ーx,0) とU’’= (ーy,x,0) です。a=(a1,a2,0)とし、 座標と座標ベクトルを同一視すると (gU)’(fU(a)) = ー(U・a )U+(U’’・a)U’’ となります。つまり (∂D)×{a}の点{U}×{a}∈D×C はD’×C の点 {U}×{(gU)’(fU(a))}が同じものとなるということです。【U・a などはベクトルU,a の内積を表すものとします。】。U=(cosθ,sinθ,0) とすると、U’’=(ーsinθ,cosθ,0) となり、 (gU)’(fU(a))=ー{(a1)(cosθ)+(a2)(sinθ)}(cosθ,sinθ,0) + {ー(a1)(sinθ)+(a2)(cosθ)}(ーsinθ,cosθ,0) となる。a もC上の点なのでa=(cosφ,sinφ,0)と置くことが出来ます。そうすると (gU)’(fU(a)) = ー{(cosφ)(cosθ)+(sinφ)(sinθ)}(cosθ,sinθ,0) + {ー(cosφ)(sinθ)+(sinφ)(cosθ)}(ーsinθ,cosθ,0) = (ー(cosφ)((cosθ)^2ー(sinθ)^2)ー2(sinφ)(sinθ)(cosθ) , ー2(cosφ)(cosθ)(sinθ)ー(sinφ)((sinθ)^2ー(cosθ)^2) , 0 ) となりこれを更に変形すると、 = (ー(cosφ)(cos(2θ))ー(sinφ)(sin(2θ)) , ー(cosφ)(sin(2θ))+(sinφ)(cos(2θ)) , 0 ) となり = (ーcos(φー2θ) , sin(φー2θ) , 0 ) = ー(cos(2θーφ), sin(2θーφ), 0 ) = (cos(2θーφ±π), sin(2θーφ±π, 0) ・・・・・(■) となります。
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94. 2014年11月03日 15:24:48
: 0NYvualSvw
D×C の境界上の点 (U,a) 【U=(cosθ,sinθ,0) , a=(cosφ,sinφ,0)】は、D’×C の境界上の点 (U,(gU)’(fU(a))) と貼り合わされることになります。93 の (■) から U が、C を一周するとき 【θ が0から2π迄変化するとき】(gU)’(fU(a)) は C を二周するということが分かります。 【θの係数が2だからです。】。 このことからSO(3)はRP(3)となることが分かります。 (■) より θ, θ’ が同一のC 上の点をもたらすための必要で十分 な条件は、θーθ’ が ±πの整数倍 であることです。よってBとUを子午線UB)で結び {( P, (gU)’( fU(a) ) ) ; P∈UB) }を作りこれを全てのUに亘って和したものはメビウスの帯になり、これにD×{a}を加えたものは実2次元射影平面となります。上のように貼り合わされて出来た (D×C)∪(D’×C) をこの射影平面に沿って切り開くと、3次元の球体になります。
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95. 2014年11月03日 22:47:52
: xx3muaPRuo
以上の事をよく理解すれば、SO(4) が 3次元球面と実3次元射影空間RP(3)との積空間に同相でないということは、殆ど自明のこととなると思います。キーポイントは、一方【D×C】で可縮なもの(∂D)×{a}=C×{a}が他方【D’×C】に於いては、可縮ではないということです。もしも積空間であれば、一方で可縮のとき、それは他方に於いても可縮でなければなりません。
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96. 2014年11月03日 23:09:17
: xx3muaPRuo
95の最後の部分-----「もしも積空間であれば」は「もしもSO(3) が2次元球面と円との積空間であれば」という意味です。SO(4) 及び他については明日以降に書きます。
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97. 2014年11月09日 12:56:24
: 3NmUbQ5j2E
n + 1 次元のユークリッド空間 R×R×・・・×R :=R^(n+1) の原点O=(0,0,・・・,0) からの距離が 1 の点X=(x(1),x(2),・・・,x(n+1)) の全体: S(n):={X=( x(1),・・・,x(n+1) ) ∈R^(n+1) ; x(1)^2 + ・・・ + x(n+1)^2 = 1} またはこれと同相なものを n 次元球面といいます。座標ベクトルとは、点の座標を成分とするベクトルで原点Oからその点へ向かうベクトルの事です。 点Xと座標ベクトルOXを簡単の為に、共にXで表すことにします。n+1次の直交行列 O(n+1)とは、S(n) 上の n+1 個の点 X(1),・・・,X(n+1) の座標ベクトル X(1),・・・,X(n+1) がX(i)・X(j) = δ(i,j) 【=1(i=jのとき)、=0(i≠jのとき)】となっているような X(1),・・・,X(n+1) の順序を考慮し た組 ( X(1),・・・,X(n+1) ) の全体と同相で、X(i) = ( x(i,1),・・・,x(i,n+1) ) とするとき第i行j列 番目の要素を x(i,j) とするような行列〔x(i,j)〕の全体が O(n+1) と一致します。
[32削除理由]:削除人:アラシ |
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98. 2014年11月09日 13:40:04
: 3NmUbQ5j2E
一般に、正方行列【行数と列数が同じ行列】に対し、転置行列の行列式は元の行列の行列式に 等しいこと、2つの行列の積の行列式はそれぞれの行列の行列式の積に等しいこと、行列式は 全行【または全列】を基本の辺とする、その行数の次元の、平行体の体積またはそれにー1を掛けたものに等しいこと、などが分かっています。
[32削除理由]:削除人:アラシ |
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99. 2014年11月09日 14:26:07
: 3NmUbQ5j2E
97の横書きのX(i) 【1行(n+1)列の行列】に対して、これを縦に書いたもの【(n+1)行1列の行列】をX(i)↓で表すと〔x(i,j)〕の転置行列〔x(i,j)〕^T = 〔y(i,j)〕【y(i,j)=x(j,i)】は 〔X(1)↓,・・・,X(n+1)↓〕のことであり、〔x(i,j)〕〔X(1)↓,・・・,x(n+1)↓〕= T = 〔δ(i,j)〕となります。98から、detT=1 = ( det〔x(i,j)〕)( det〔X(1)↓,・・・,X(n+1)↓〕)=( det〔x(i,j)〕)^2 従ってdet〔x(i,j)〕= det〔X(1)↓,・・・,X(n+1)↓〕= ± 1 となり、逆にX(1),・・・,X(n+1) の大きさが皆 1 の時、det〔x(i,j)〕= ± 1 ならば 異なる X(i),X(j) は垂直になっていなければならない、 ということが言えます。
[32削除理由]:削除人:アラシ |
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100. 2014年11月09日 18:47:28
: 3NmUbQ5j2E
91の文字を併用します。D = {( x(1),・・・,x(n+1) ) ∈ R^(n+1) ; x(1)^2+・・・+x(n+1)^2 =1, x(n+1)≧0},D’ = {( x(1),・・・, x(n+1) ) ∈ R^(n+1) ; x(1)^2 +・・・+x(n+1)^2 =1, x(n+1)≦0} とし、 A = (0,0,・・・,0,1) とし B = (0,0,・・・,0,ー1) とする。そうすると D,D’は、n 次元の球体になり、D∪D’ = S(n) となり、D∩D’ =: C は、(nー1)次元の球面になります。今、ベクトルX(1),・・・,X(n+1) による行列〔x(i,j)〕はO(n+1)の元になっているとします。 X(n+1) = A の時、X(1),・・・,X(n) は、∈C となり x(1,n+1)=0,x(2,n+1)=0,・・・,x(n,n+1)=0 と なります。それ故 X(i)’ := ( x(i,1),・・・,x(i,n) ) 【i=1,・・・,n】によるn行n列の行列は、O(n)の 要素になります。U∈D としU≠AとするとUとAを結ぶD上の"子午線" 【大円の劣弧】AU)が一つ 決まります。これに沿ってX(n+1)をAからU迄動かします。Cは、Uを北極と見た時の赤道に当たるものへと移ります。前と同じように途中C【が動いて行くもの】には、自転させないようにします。これによりC上の点V=(v(1),・・・,v(n),0) が移っていった先のものを表す写像が、前の fU に当たるものです。これはVの、OAとOUとを含む平面への垂直射影の部分だけその平面 で角AOU だけOを中心に回転さし、
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101. 2014年11月09日 18:51:28
: 3NmUbQ5j2E
この平面と垂直な成分は変化させないような写像です。
[32削除理由]:削除人:アラシ |
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102. 2014年11月10日 13:07:20
: uVLXboaYvA
ここからfU(V)の表示を求める事に移ることにします。U=(u(1),・・・,u(n),u(n+1)))∈D,U≠A, とすると0≦u(n+1)<1,となり、従って 0<1ーu(n+1)^2 = u(1)^2 +・・・+u(n)^2 . 故に 1,2,・・・,n の内の或る数kに対してu(k) ≠ 0 となります。"子午線" 【の部分弧】AU)をU 側にB迄延長すると子午線AUB) が得られます。この AUB) と C との交点を U* で表します。 直線OA,OU を含む平面へのVのこの平面への垂直射影のベクトルは( V・U*)U*となります。 Vの、この平面と垂直な成分のベクトルは、V ー(V・U*)U* となります。 V = (V・U*)U* + {Vー(V・U*)U*} となります。実際、U*・{Vー(V・U*)U*} = U*・V ー (V・U*)U*・U* = 0 , A・{Vー(V・U*)U*} = 0 , なりこの平面上のベクトルは全てA,U*の 1 次 結合ですから、それと{Vー(V・U*)U*}との内積は 0 になります。 【つまりそれらは垂直です。】
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103. 2014年11月10日 13:43:14
: uVLXboaYvA
(αA+βU*)・{}=αA・{} + βU*・{} = 0 となります。
[32削除理由]:削除人:アラシ |
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104. 2014年11月10日 14:59:22
: uVLXboaYvA
U = ( u(1),・・・u(n),u(n+1) ) ∈ D , U ≠ A , とすると U*= (u(1),・・・,u(n),0) / (u(1)^2 +・・・+ u(n)^2 )^(1/2) となります。u(k) ≠ 0 の為(u(1),・・・,u(n),0) は、0ベクトルではなく、U*のこの表示の分母は0ではなく意味を持ちます。Aを複素平面上の 1 に対応さし、U*を i に対応させます。角AOU = α 【0<α≦π/2 】 として U をe^(iα) に対応させます。AがAU)上AからU迄動いて行くと複素平面上のAに対応するものは、1からe^(iα)迄単位円周上を動いて行きます。そしてU*に対応するものは、i から i e^(iα) 迄回転して行きます。 i e^(iα) = ーsinα + i cosα は、ー(sinα) A + (cosα) U* に対応します。以上の事から fU(V) = (V・U*) ( ー(sinα)A + (cosα) U*) + { V ー (V・U*) U* } ・・・・・(■■) となります。
[32削除理由]:削除人:アラシ |
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105. 2014年11月10日 17:19:14
: uVLXboaYvA
104は、写像 fU : C → S(n) ,【U∈D】 を考えました。写像 gU : C → S(n),【U∈D’】 もfUと同様に、V'∈CのgUによる像は(■■) におけるAをBに変え角BOU=βとして gU(V’) = (V'・U*)(ー(sinβ)B + (cosβ) U*) + {V'ー(V'・U*)U*} となります。 U∈ D∩D’ = C とするとU*= U となり α=β=π/2 となります。 この時 fU(V) = ー(V・U)A+{Vー(V・U)U}, gU(V') = ー(V'・U)B + {V'ー(V'・U)U} となります。次にこれらが等しいとすると、V,V'間にいかなる関係が有るかを見ていきます。
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106. 2014年11月10日 22:14:32
: uVLXboaYvA
U∈C としてfU(V)=gU(V') とするとー(V・U)A +{Vー(V・U)U}=ー(V'・U)B+{V'ー(V'・U)U} B=ーAをこれに入れて ( (V'+V)・U )A + (V'ーV)ー( (V'ーV)・U )U = 0 . V,V',Uは皆∈C であり これの第2項、第3項はx(n+1)=0 の空間のベクトルであり第1項はその空間の成分が0です。 よって (V'+V)・U = 0 , 故に V'ーV = ( (V'ーV)・U ) U これらからV,V'間の関係は直観的には明らかですが、今日はこの位にしておきます。V'+V≠0 かつ V'ーV≠0 のとき、前者はUに垂直で後者は、Uに平行ということです。
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107. 2014年11月12日 16:52:08
: uVLXboaYvA
106 で (V' + V)・U = 0 ・・ ・・・・・【1】 及び V' ー V = (( V'ーV)・U ) U ・・・・・【2】 を得ました。【1】から V'・U = ーV・U となり、これを【2】に代入して V'ーV = ー2 (V・U) U ∴ V' = Vー2(V・U) U = V 〔Tー2(U↓) U〕・・・・・・・【3】 となります。V'=(gU)'(gU(V'))=(gU)'(fU(V))=(gU)'fU(V)=V〔Tー2(U↓)U〕 【ここに(gU)'は、 gUの逆写像を表すものとします。】。(gU)'fU の行列表示 〔Tー2(U↓)U〕が得られました。
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108. 2014年11月13日 14:20:31
: p5Ky3TZlqA
【3】からは次が言えます。まず角UOV = ψ 【0≦ψ≦π】とすると V・U = cosψ . V' = V ー 2(cosψ)U . V'+V = 0 ならば 0 = V' + V = 2V ー 2(cosψ)U = 0 ∴ V = (cosψ)U ∴ 1 = V・V = (cosψ)^2 U・U = (cosψ)^2 ∴ cosψ = ±1 ∴ ψ = 0 か π となります。 ψ = 0 なら V = U 【従ってV'=ーU】, ψ = π なら V = ーU 【この時V' = U 】. ψ=0 のとき V'ーV = ー2U ≠ 0 , ψ = π のとき V'ーV = 2U ≠ 0 となります。 V'+V ≠ 0 ⇔ 0<ψ<π ⇔ 『V とU は平行ではない』 ということが言えました。 よって V'+V ≠ 0 のとき、直線 OU、OV を含む2次元平面 : Π が一意に決まります。 V' はVとUの1次結合で表されますから点V'もこの平面Πに属します。V'∈C より V'∈C∩Π 【これは単位円になります。V,U も∈C∩Π】。Π の原点Oを複素平面の 0 に対応さし、Uを同平面の1に 対応さし、V を e^(iψ) に対応させると、V' は 同複素平面の ーe^(ーiψ) に対応させるような 写像です。つまり複素平面の虚軸を 固定した反転で移るものへ対応させるということです。
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109. 2014年11月14日 09:09:33
: p5Ky3TZlqA
a を C の任意の点とし、これを固定し、V = a とします。そして b【∈ C】は a・b = 0 を満たす任意の点【ベクトル】とします。C' :={(cosψ)a + (sinψ)b ; ψ∈R} と置くと これは、C の【a,b を含む】大円になります。U = (cosψ)a + (sinψ)b 【=: U(a,b;ψ)】 とすると、 V' = a 〔Tー2( (cosψ)a↓ + (sinψ)b↓ ) ( (cosψ)a + (sinψ)b ) 〕 = a ー2(cosψ)( (cosψ)a + (sinψ)b ) = ( 1ー2(cosψ)^2 )a ー2(cosψ)(sinψ)b = ー(cos(2ψ))a ー(sin(2ψ))b = (cos(2ψ±π) )a + (sin(2ψ±π) )b = U(a,b; 2ψ±π) ∈ C' となります。
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110. 2014年11月14日 12:56:31
: p5Ky3TZlqA
S(n) の単位接ベクトルの全体は、M: ={(U,fU(C)) ; U∈D}∪{(U,gU(C) ; U∈D’)}のことで す。前者の{}は D×C に同相で後者の{}はD’×C に同相です。【D,D’が可縮だからです】。 両者は共通の境界 C×C に於いて貼り合わされています。 ∴ M ~ (D×C)∪(D’×C) 【(∂D)×C∋(U,V) = (U,V(Tー2(U↓)U))∈(∂D’)×C 】。【ここに~は同相ということを表わすもの とします】。 となります。(∂D)×{a}はD×C に於いて可縮ですが、これの像は D’×Cに於いて可縮かどうかということが次の問題となります。
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111. 2014年11月30日 19:20:41
: p5Ky3TZlqA
110を書いてから二週間以上が経ちました。 自分で考える習慣の有る人、自分で考えることを好む人は、上の事を用いて 独自に結論を出していることと思います。問題点は直ぐに浮かび上がって来ます。 つまり、solid【=可縮なもの】上の束は、そのsolid と繊維 との積空間になる --- という命題は、常に正しいのかどうか という問題です。
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112. 2014年11月30日 20:22:36
: p5Ky3TZlqA
SO(4) について考えます。上の97から110 に於ける n を 3 として考えます。 S(3) := { (x,y,z,t)∈R^4 ; xx+yy+zz+tt = 1} , D = { (x,y,z,t)∈R^4 ; xx+yy+zz+tt=1, t≧0} , D’ = { (x,y,z,t)∈R^4 ; xx+yy+zz+tt = 1, t≦0} などとすることになります。 大きさ 1 の 4個の【横】ベクトル X(1), X(2), X(3), X(4) の組で X(i)・X(j) = δ(i,j) となり det〔X(1)↓, X(2)↓, X(3)↓, X(4)↓〕= 1 となるような行列〔X(1)↓, X(2)↓, X(3)↓, X(4)↓〕の 全体が SO(4) です。【これは X(1), X(2), X(3), X(4) を縦に並べてできる行列の全体と 一致します。( 1行目にX(1)を置き、・・、4行目にX(4)を置いてできる行列の全体と 一致します。)】
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113. 2014年11月30日 21:36:39
: p5Ky3TZlqA
X とその小文字 x は、紛らわしいので 、X(i) の成分はギリシャ文字のξ を以て表わす ことにします。すなわち、X(i) = (ξ(i,1),ξ(i,2),ξ(i,3),ξ(i,4)) とします。 A = (0,0,0,1) とし、行列〔ξ(i,j)〕∈SO(4) とすると、X(4) = A のとき X(1),X(2),X(3) の第4成分ξ(i,4) は、0になります。【 X(4)=A なら ξ(i,4)=0, (i=1,2,3) 】。 X'(i) := (ξ(i,1),ξ(i,2),ξ(i,3)) とすると、やはり、X'(i)・X'(j)=δ(i,j) となり このX'(1),X'(2),X'(3) による3行3列の行列を〔ξ'(i,j)〕に よって表わすとX(4)=Aのとき det〔ξ'(i,j)〕= 1 ,〔ξ'(i,j)〕∈SO(3) となります。 これは行列式の小行列式への分解公式 【確かLaplaceの公式と言われています。】 から出て来ます。
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114. 2014年11月30日 23:05:25
: p5Ky3TZlqA
solid についての命題が正しいとします。X(4)=U がD全体にわたるとき各Uに対し X(1),X(2),X(3),X(4)=Uによる〔ξ(i,j)〕が∈SO(4) となるX(1),X(2),X(3) の全体は、SO(3) に同相です。これは、その命題が正しいとすると D×SO(3) に同相になります。 今 {X(1) = (1,0,0,0) X(2) = (0, cosθ, sinθ,0), X(3) = (0,ーsinθ, cosθ,0) ; 0≦θ≦2π } =: E とするとこれはS(1)【円周】であり、これに属す任意のX'(1),X'(2),X'(3)による 〔ξ'(i,j)〕はSO(3)に属します。D×SO(3) の部分集合 D×E の境界(∂D)×E=C×E は、D’上 の束の境界へ如何様に移されるのかということが次に考えるべきことです。
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115. 2014年12月01日 00:35:29
: p5Ky3TZlqA
その像 B×{ (gU)'fU(E) ; U∈∂D’=C } は、B×SO(3) 【正確には、B×( O(3)ーSO(3) )】 を2重に被覆します。ところが C×E~S(2)×S(1)は、SO(3)~RP(3) を2重に被覆すること は、有り得ません。SO(4) が S(3)×SO(3)に同相ならば、当然ながらsolid の命題が 成り立ちます。細部は、もう殆ど自明だと思いますが今日はここまでとします。
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116. 2014年12月01日 10:28:57
: mggHfNkvD2
上の 109 のように U を C 上の大円の点としてこの上を動くときEの点は C上どう動くかを見るのが最も見易いと思います。 それで、a = (1,0,0,0) とし、b = (0,cosφ,sinφ,0) とすると a・b = 0 となります。 C' := { (cosψ)a + (sinψ)b ; 0≦ψ≦2π} 【⊂ C = D∩D’】 とします。ここにφとψは、 互いに独立の変数です。φは、大円C' そのものを変えるものであり、ψはC'上を動く 為の変数です。U=U(a,b; ψ) ∈C' 上 E の点 X(1)= a = (1,0,0,0), X(2)=(0,cosθ,sinθ,0), X(3) = (0,ーsinθ,cosθ,0) は、それぞれ a〔Tー2U↓U〕, (0,cosθ,sinθ,0)〔Tー2U↓U〕, (0,ーsinθ,cosθ,0)〔Tー2U↓U〕 へ移ります。 一般に、V∈C, U∈C, U'∈C に対して V〔Tー2U↓U〕= V〔Tー2U'↓U'〕 とすると (V・U) U = (V・U') U' ∴ (V・U)^2 = (V・U')^2 ∴V・U' = ± V・U ∴ (V・U) U = ±(V・U) U' ∴ V・U ≠ 0 のとき U' = ± U そして V・U=0 ⇔ V・U' = 0 となります。
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117. 2014年12月01日 14:24:05
: mggHfNkvD2
C'∋U=U(a,b; ψ) = (cosψ)a + (sinψ)b, a=(1,0,0,0), b=(0,cosφ,sinφ,0) , とすると、 U(a,b; ψ) = ( cosψ, (sinψ)(cosφ), (sinψ)(sinφ), 0) となります。 a〔Tー2U↓U〕= aー2(cosψ) ( cosψ, (sinψ)(cosφ), (sinψ)(sinφ), 0 ) =aー2(cosψ)( (cosψ,0,0,0) + (0,(sinψ)(cosφ),(sinψ)(sinφ),0) ) =ー(cos(2ψ)) a ー(sin(2ψ)) b = U(a,b; 2ψ±π) ∈ C' となり当然ながら上の109 と同様の結果となります。
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118. 2014年12月02日 00:10:52
: mggHfNkvD2
D×C の 点としての (U, X(2)) は、D’×C の点 (U, X(2)〔Tー2U↓U〕) へ移ります。 U = U(a,b; ψ) = (cosψ)a + (sinψ)b , X(2) = (0,cosθ,sinθ,0) , b = (0,cosφ,sinφ,0) として X(2)〔Tー2U↓U〕を求めます。a,b を含み原点を含む平面へのX(2) の正射影の ベクトルは、(X(2)・b) b です。【 ∵ X(2) は、もともと a と垂直だからです。】 X(2) = (X(2)・b) b + (X(2)ー(X(2)・b) b ) と分解すると、これの第2項は、a,b の各々と 垂直です。よってこの第2項は、a,b の線形結合の U とも垂直です。よって X(2)〔Tー2U↓U〕= X(2) ー2(X(2)・b) (b・U) U となります。 X(2) = (0,cosθ,sinθ,0) , b = (0,cosφ,sinφ,0) , U(a,b; ψ) = (cosψ)a + (sinψ)b より X(2)・b = cos(θーφ) , b・U = sinψ となり、結局X(2)〔Tー2U↓U〕= X(2) ー2(cos(θーφ))(sinψ)( (cosψ)a + (sinψ)b ) = X(2)ー(cos(θーφ)) ( (sin(2ψ))a + 2((sinψ)^2)b ) = X(2)ー(cos(θーφ)) b ー(cos(θーφ)) ( (cos(2ψー(π/2)) )a + ( sin(2ψー(π/2)) ) b ) = X(2)ー(cos(θーφ))b ー(cos(θーφ)) U(a,b ; 2ψー(π/2) ) となります。これの解釈は、上で書いたように、明白です。 【 2(sinψ)^2 = 2(1ー(cosψ)^2) = 2ー2(cosψ)^2 = 1 + (1ー2(cosψ)^2) = 1ーcos(2ψ) です。】
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119. 2014年12月02日 13:33:04
: NtNAgANFiY
X(2)〔Tー2U↓U〕= X(2) ー (cos(θーφ))b ー (cos(θーφ)) U(a,b ; 2ψー(π/2) ) = X(2) ー (cos(θーφ))b + (cos(θーφ)) U(a,b ; 2ψー(π/2)±π ) = X(2) ー (cos(θーφ))b + (cos(θーφ)) U(a,b ; 2ψ + (π/2) ) となります。X(3)〔Tー2U↓U〕は、X(3) が X(2) = (0,cosθ,sinθ,0) に於ける θ を θ +(π/2) に変えたものになります。ゆえに X(3)〔Tー2U↓U〕= X(3) + (sin(θーφ))b ー (sin(θーφ)) U(a,b ; 2ψ + (π/2)) となります。これら【X(1)〔Tー2U↓U〕= a〔Tー2U↓U〕, X(2)〔Tー2U↓U〕, X(3)〔Tー2U↓U〕】の内の任意の2つは垂直で、そしてその各々は大きさが 1 であることは、明らかです。なぜなら U↓U の転置行列は、U↓U に等しく、従って 〔Tー2U↓U〕の転置行列も 〔Tー2U↓U〕に等しく、1 行の行列 X(i)〔Tー2U↓U〕 の転置行列【縦ベクトル】は、〔Tー2U↓U〕X(i)↓ となり その積 X(i)〔Tー2U↓U〕〔Tー2U↓U〕X(i)↓ = X(i)〔T+ 4(U↓U)(U↓U) ー 4U↓U〕X(i)↓ =X(i)X(i)↓ = X(i)・X(i) = 1 【 (U↓U)(U↓U) = U↓(U(U↓))U = U↓U を用いています。】 であり、〔Tー2U↓U〕^2 は、今見たように 、T ですから det〔Tー2U↓U〕= ± 1 でなければなりません。U = a = (1,0,0,0) のとき 2U↓U は、(1,1) 成分が2で他は皆 0 の 4行4列の行列ですから、det〔Tー2a↓a〕= ー1 となります。det〔Tー2U↓U〕は、Uの 連続関数ですから、任意の U に対して det〔Tー2U↓U〕= ー1 となります。 このことから、変換されたそれら 3 個のどの対も、互いに垂直のままになります。
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120. 2014年12月02日 21:47:02
: NtNAgANFiY
変換された3個のものの内の任意の異なり2つが互いに垂直で、各々は大きさが 1 である ということは、〔Tー2U↓U〕が対称【(i,j)成分と(j,i)成分が等しい】ということと 〔Tー2U↓U〕^2 = T となることから直ちに出て来ます。なぜなら そのことから X(j)〔Tー2U↓U〕の転置行列は、〔Tー2U↓U〕X(j)↓ であり、X(i)〔Tー2U↓U〕 と X(j)〔Tー2U↓U〕の内積は、X(i)〔Tー2U↓U〕^2 X(j)↓ = X(i)X(j)↓ = X(i)・X(j) = δ(i,j) となるからです。以上まとめるとa〔Tー2U↓U〕= U(a,b ; 2ψ±π) , X(2)〔Tー2U↓U〕= X(2) ー (cos(θーφ))b + (cos(θーφ))U(a,b ; 2ψ+(π/2)) X(3)〔Tー2U↓U〕= X(3) + (sin(θーφ))b ー (sin(θーφ))U(a,b ; 2ψ+(π/2)) a = ( 1,0,0,0) , b = (0,cosφ,sinφ,0) , X(1) = a , X(2) = (0,cosθ,sinθ,0) , X(3) = (0,ーsinθ,cosθ,0) , U = (cosψ)a + (sinθ)b です。
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121. 2014年12月02日 21:53:11
: NtNAgANFiY
任意の異なり⇒任意の異なる
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122. 2014年12月02日 22:07:39
: NtNAgANFiY
120 で U = (cosψ)a + (sinθ)b とあるものは、正しくは、 U = (cosψ)a + (sinψ)b です。
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123. 2014年12月07日 16:31:53
: ptXHsGSzJI
a=X(1)=(1,0,0,0), X(2)=(0,cosθ,sinθ,0), X(3)=(0,ーsinθ,cosθ,0) の第4成分を削って a'=X'(1)=(1,0,0), X'(2)=(0,cosθ,sinθ), X'(3)=(0,ーsinθ,cosθ) とし、同様に、b'=(0,cosφ,sinφ) とし、U=U(a,b; ψ) に対し U'(a',b',ψ):=(cosψ)a' + (sinψ)b' とし、I' を3行3列の単位行列と します。 E' : = { 行列 / X'(1) \ ; 0≦θ≦2π } | X'(2) | \ X'(3) / とするとE' は、円に同相で、これの元は皆SO(3) に属します。D×E' は、D×SO(3)に含まれ ます。∂ (D×E') = (∂D)×E' ∋ (U, M) は、∂(D’×( O(3)ーSO(3) ) ) = (∂D’)×(O(3)ーSO(3)) の点 (U, M' = M(I'ー2U'↓U')) と一致します。(U,E')⊂(∂D)×E' は、向こう側では、(U,E'(I'ー2U'↓U')) に移ります。{ ( U,E'(T'ー2U'↓U') ) ; U∈C } から B×(O(3)ーSO(3)) への射影 : { (B,E'(T'ー2U'↓U') ) ; U∈C } は、上の120 の後半の3個の式から、B×(O(3)ーSO(3)) の 2重被覆となっていることが分かります。従って、{ (U, E'(T'ー2U'↓U') ) ; U∈C } は、S(3) : 3次元球面 に同相ということになります。これは不合理であり、最初の仮定--- solid に関する命題---は、正しくなかったということになります。 S(3) の単位接ベクトルの束については、一部微妙なところが有ります。 一週間後か、二週間後か、三週間後か、その位で答が出ると思います。
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124. 2014年12月07日 16:38:47
: ptXHsGSzJI
/ X'(1) \ | X'('2) | \ X'(3) /
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125. 2014年12月16日 14:54:11
: VFoPz7xoCQ
この約一週間 時々 考えるともなく 考えて来ました。【無意識下で 或いは睡眠中に】。 3次元球面S(3) の 単位接ベクトルの束は S(3) と 2次元球面S(2) の積 S(3)×S(2) に同相では ないということの証明に、昨日 到達することができました。それを書きます。 気付いてみれば簡単なことです。可縮なものの上の繊維の束は、その可縮なものと繊維との積空間に同相であるという命題を 正しいものと仮定します。S(3) の各点の単位接ベクトルの全体はS(2) に同相です。 D,D' は可縮ですから、Dの各点の単位接ベクトルの全体のD全体に亘る和は D×S(2)に同相です。同様のD’に亘るものは、D’×S(2) に 同相です。ここではS(2)として C を採りました。 これらは D×C, D’×C に同相です。E” : ={X'(2) ; 0≦θ≦2π}⊂ C とすると D×Cの部分集合の D×E” は、D×C に於いて可縮です。よってその部分集合 C×E” は D×Cに於いて可縮です。 一方、C の各点U' に対して、C(U') ⊂C を CのU' に於ける C の単位接ベクトルの全体 とする と {(U', C(U') ; U'∈C} は、C の 単位接ベクトルの全体 の和 = RP(3) となります。これは D×C の部分集合と考えても、D’×C の部分集合と考えても同じ事です。何故なら C(U')〔T'ー2U'↓U'〕= C(U') だからです。{(U',E”〔T'ー2U'↓U'〕}はこのRP(3) を2重に覆い そして{(U',C(U')) ; U'∈C}はD’×C に於いて可縮ではなく 従って {(U',E”〔T'ー2U'↓U'〕)} はD’×Cに於いて可縮ではない となります。S(3)の単位接ベクトルの束がS(3)とS(2)=C との 積空間ならこれはあり得ない事です。 最後の部分は後で少し補足をします。
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126. 2014年12月23日 06:21:17
: DGihM4V3be
125 で { (U',E”〔T'ーU'↓U'〕} , { (U',E”〔T'ーU'↓U'〕) } とあるものは { (U,E”〔T'ーU'↓U'〕) ; U∈C} のことです。
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127. 2015年1月07日 12:57:18
: PpLD5Tmdks
125には、いつか又戻って来ます。 今日からしばらく4次元空間論の或る問題について書きます。 4次元空間論では全くのデタラメが堂々と行なわれています。 少し考えれば直ぐに間違いだと分かるものに対して、それはおかしいのではないか という者がいません。一体どうなっているのか? -------------------------------複素射影平面 : CP(2) のいくつかの連結和に関して、全くの間違い、全くの無意味なこと が言われています。2つの CP(2) の連結和 について考えますと、一方のCP(2) を向付け 連結されたものをこれに同調するように向き付けるとすると、もう一方の CP(2) の向きは 1つに定まってしまいます。CP(2) # (ーCP(2)) などという標示は全く無意味ということです。 CP(2) とCP(2) の連結和は1つしか有りません。‐‐‐‐‐当たり前のことです。 こんなことが最初に言われたのは、1956年か1957年です。いまから57、8 年位前のことです。それ以来これに疑問を呈する者がいませんでした。
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128. 2015年1月11日 18:14:34
: 1CNhj7Jyu6
【甲】,【乙】,【丙】を どれも4次元球体とします。それぞれの境界は3次元球面になります。 3次元球面は2つのドーナツをそれぞれの境界で貼り合わして作ることができます。 それで、∂【甲】=【甲T1】∪【甲T2】, ∂【乙】=【乙T1】∪【乙T2】 ∂【丙】=【丙T1】∪【丙T2】とし、これらの右辺は二つのドーナツを境界で貼り合わした和 を表わすものとします。【甲】と【乙】をそれぞれの境界 ∂【甲】, ∂【乙】の部分【甲T1】 , 【乙T1】の所で貼り合わします。【甲T1】の緯線をmとし、【甲T2】の緯線をkとします。 kは【甲T1】の経線になります。同様にm´を【乙T1】の緯線とし、k´を【乙T2】の緯線とし、 m”を【丙T1】の緯線とし、k”を【丙T2】の緯線とします。緯線とはドーナツの境界上の単純 閉曲線であり、且つ ドーナツに含まれる円板【に同相なもの】の境界となっているようなもの のことです。【甲T1】と【乙T1】を貼り合わすときmとm´が重なるようにし、k´は ∂【甲T1】の k + m に相当するものに重なるようにします。そうすると k は ∂【乙T1】の k´ーm´ に相当するものに重なっているということです。こうして出来たもの 【甲】∪【乙】:( 【甲T1】=【乙T1】) の境界 ∂(【甲】∪【乙】) = 【甲T2】∪【乙T2】 は、3次元球面になります。このように貼り合わされたもの【甲】∪【乙】と【丙】をそれぞれの境界の3次元球面の所で【3次元球面同志の同相写像で】貼り合わします。そうして、 CP(2)ができます。その同相写像 f : ∂【丙】→ ∂ (【甲】∪【乙】) に対し、その逆写像を f ’ : ∂(【甲】∪【乙】) →∂【丙】 とします。【丙T1】= f ’ (【甲T2】) , 【丙T2】= f ’ (【乙T2】) を以て定義すると【丙T1】の緯線 m” は【甲T2】の緯線 k に、そして【丙T2】の緯線 k” は【乙T2】の緯線 k ’ に それぞれなっていなければなりません。
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129. 2015年1月12日 02:07:08
: 1CNhj7Jyu6
訂正。128 では 緯線の定義を間違えています。 ドーナツの緯線とは、ドーナツの境界上、境界上では不可縮で、ドーナツに於いては可縮な、 境界上の単純閉曲線のことです。【追加】緯線という用語、経線という用語 について。 円柱を鉛直に立てたとき、底面、上面の円板に平行な平面とこの円柱との交わりの円板の 境界をこの円柱の緯線と呼ぶことにします。そして側面の鉛直な線分を経線と呼ぶことに します。球面に対して、経線は、両極を結ぶ半円であって円ではないので、この呼び方が 良いと思います。円柱を丸く曲げて両端の円板を貼り合わしてドーナツができます。 ドーナツの緯線は、元の円柱の緯線であったものとし、ドーナツの経線は、元の円柱の経線 由来の閉曲線のこと とすると これは理にかなっています。
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130. 2015年1月12日 13:19:32
: ZCDcJAiQG2
f : ∂【丙】→∂ (【甲】∪【乙】) の 【丙T2】 ( ⊂ ∂【丙】) への 制限 : f |【丙T2】: 【丙T2】→【乙T2】 により【丙】と【乙】は境界で貼り合わされて います。貼り合わし方は、【丙T2】の緯線 k” は 【乙T2】の緯線 k ’ に、そして 【丙T2】の経線 m” は k に、従って ∂【乙T2】の k ’ ー m ’ に相当するものに、それぞれ 重なって行きます。
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